Quan hệ vuông góc trong mặt phẳng Vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước

Dựng hai đường vuông góc

Dựng đường vuông góc (lam) với đường thẳng AB đi qua điểm P.
Hình động minh họa cách dựng đường vuông góc với đường thẳng g tại điểm P (áp dụng không chỉ ở điểm mút A, M chọn một cách tự do).

Để dựng một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB qua điểm P sử dụng thước kẻ và compa, thực hiện các bước như sau (xem hình bên trái):

  • Bước 1 (đỏ): dựng một đường tròn với tâm tại P có tâm bất kỳ sao cho đường tròn cắt đường thẳng AB tại hai điểm A' và B', mà cách đều từ P.
  • Bước 2 (lục): dựng hai đường tròn có tâm lần lượt tại A' và B' và có bán kính bằng nhau. Gọi Q và R tương ứng là các giao điểm của hai đường tròn này.
  • Bước 3 (lam): nối Q và R để thu được đường thẳng PQ mong muốn.

Để chứng minh PQ vuông góc với AB, sử dụng định lý tam giác đồng dạng CCC cho hai tam giác QPA' và QPB' để đi đến kết luận hai góc OPA' và OPB' bằng nhau. Sau đó sử dụng định lý tam giác đồng dạng CGC cho hai tam giác OPA' và OPB' thu được hai góc POA và POB bằng nhau.

Để vẽ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại hoặc đi qua điểm P sử dụng định lý Thales, xem hình động bên cạnh.

Cũng có thể áp dụng định lý Pytago để làm cơ sở cho phương pháp dựng góc vuông. Ví dụ, bằng cách sử dụng ba đoạn thước có tỉ lệ độ dài 3:4:5 để tạo ra hình một tam giác vuông. Phương pháp này rất thuận tiện cho đặt bố trí các đồ vật và vị trí trên mảnh đất hoặc khu vườn rộng, và khi độ chính xác không yêu cầu cao. Tam giác vuông này có thể lặp lại bất cứ lúc nào cần thiết.

Chân đường vuông góc - hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng

Đoạn thẳng AB vuông góc với đoạn thẳng CD bởi vì hai góc mà chúng tạo ra (màu vàng cam và lam) bằng 90 độ. Đoạn thẳng AB có thể gọi là đường thẳng vuông góc từ A đến đoạn thẳng CD. Điểm B gọi là chân đường vuông góc từ A đến đoạn thẳng CD, hoặc đơn giản là chân của A trên CD.[2] Điểm B còn được gọi là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD

Từ chân thường được sử dụng thường xuyên đi kèm với khái niệm vuông góc. Cách sử dụng này được minh họa trong hình vẽ ở trên, và phần chú giải của hình. Hình vẽ có hướng bất kỳ. Và chân đường vuông góc không nhất thiết phải nằm ở đáy. Chân đường vuông góc còn được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng.

Đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

Đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ 1 điểm nằm ngoài một đường thẳng và cắt đường thẳng đó, đoạn vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất và duy nhất. Các đoạn thẳng còn lại được gọi là đường xiên.

Đoạn thẳng giới hạn bởi chân đường vuông góc và giao điểm của đường xiên với đường thẳng được gọi là hình chiếu của đường xiên lên đường thẳng đó.

Trong các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:

  • Đường xiên lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) thì có hình chiếu lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) và ngược lại
  • 2 đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại